HISTÓRIA DA ÁLGEBRA LINEAR

A ANÁLISE VETORIAL E O DESENVOLVIMENTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

A principio é preciso ressaltar que até pelo menos o final do século XIX, não havia nenhuma teoria ou conjunto de regras bem definidas que se pudesse dar o nome de álgebra linear. Havia apenas uma certa intuição por parte de alguns matemáticos, especialmente nos séculos XVII e XVIII, que perceberam que deveria existir alguma forma de conexão da álgebra com a geometria e que o conjunto dos números complexos deveria ser encarado como uma entidade matemática legítima. Foi para legitimar estes números que os matemáticos, começaram a desenvolver ao longo do século XVII um sistema representação geométrica para eles e foi isso que os levou a perceberem determinadas propriedades nesses números e também a perceberem que estes objetos de estudo possuíam inúmeras aplicações em outros campos científicos. Esta percepção aliada ao desenvolvimento da representação geométrica os levou a desenvolver métodos de análise vetorial no plano e tentar estendê-los ao espaço.

Este processo não foi simples, mas foi somente sua apresentação, com grande propriedade por Gauss em 1831, que permitiu que os números complexos fossem aceitos. A generalização desta representação ao espaço foi ainda mais difícil, mas foram justamente as sucessivas tentativas que levaram Hamilton a descobrir os quatérnios (nos quais o produto não é comutativo). Essa descoberta aliada a não existência de ordem usual nos números complexos fez com que os matemáticos percebessem que as operações usuais quando aplicadas a determinados conjuntos numéricos perdiam determinadas propriedades e foi o conseqüente estudo dessas operações aplicadas aos vetores que culminou numa série de regras que formaram as bases da análise vetorial, que é a base do que atualmente conhecemos como álgebra linear.

Um dos conceitos mais fundamentais de álgebra linear é a soma e subtração de vetores que segundo M. J. Crowe [1] já se encontravam sugestões do uso deste conceito na antiga Grécia. Sabe-se ao longo dos séculos XVI e XVII era usado na física como soma de forças e no século XIX seu uso era bastante comum e isto teve alguma influencia na criação de um sistema vetorial.

A referencia fundamental neste trabalho são os artigos de M. J. Crowe [1] e J. L. Dorier [2].

A GEOMETRIA DE LEIBNIZ E O DESENVOLVIMENTO DA ANÁLISE VETORIAL

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) numa carta datada de 8 de setembro de 1679 para Christian Huygens (1629- 1695), discutiu a possibilidade de criar um sistema que servisse como um método direto para análise espacial. Mesmo não trabalhando essa idéia detalhadamente, ele conseguiu realizar os primeiros avanços nessa direção, o que o torna um dos precursores conceituais nessa área, mas, apesar disso, sua memória contendo estes avanços só foi publicada em 1833.

Leibniz em sua carta afirma: "... precisamos de outra análise, que seja distinta da geométrica e que expresse posição (situs) diretamente da mesma forma que a álgebra expressa magnitudes...".

Em seu ensaio, Leibniz descreve sua descoberta como "... uma nova característica inteiramente diferente da álgebra e onde teremos grandes vantagens em representar exatamente qual é a direção natural, mesmo sem figuras....

Álgebra é a característica de números indeterminados ou magnitudes somente, mas, não expressa posição, ângulos ou direção de movimento. Também é muito difícil analisar as propriedades de uma figura com o Cálculo, e é ainda mais difícil conseguir construções e demonstrações geométricas convenientes, mesmo quando o cálculo algébrico está completo. Mas, esta nova característica, na qual seguem as figuras visuais, não pode falhar em dar a solução, a demonstração e a construção geométrica, tudo ao mesmo tempo, e de um modo natural em uma análise. Mas seu valor está no raciocínio que pode ser feito e nas conclusões que podem ser tiradas das operações com seus caracteres, os quais não podem ser representados por figuras e ainda menos por modelos..."

Leibniz estava procurando com este sistema um método que fosse aplicado à física para obter as melhores representações geométricas dentro da mecânica, o que limitou sua teoria e o impediu de realizar demais avanços.

O sistema de Leibniz era completamente dependente da geometria, pois sua idéia principal era a idéia de congruência de conjuntos de pontos (no sentido usual da geometria). Ele usava as primeiras letras do alfabeto para representar pontos conhecidos e as últimas para representar pontos desconhecidos e a relação de congruência era representada pelo símbolo ?? . Dessa forma, "ABC DEF" quer dizer que dois conjuntos de três pontos cada são congruentes entre si (ou seja pode-se aplicar uma isometria em ABC para que este coincida com DEF).

O crédito de Leibniz está em perceber que era necessária uma nova álgebra e que a principal característica dessa álgebra devia ser que se possa representar as entidades geométricas simbolicamente e se pode operar diretamente com estes símbolos. No entanto ele não conseguiu desenvolver um sistema onde as quatro operações (adição subtração, divisão e multiplicação) pudessem ser aplicadas a estas entidades, o que fez com que ele não percebesse, por exemplo, que AB e BA podem ser interpretadas como grandezas distintas, e também que -AB pode ter algum significado.

AS ORIGENS, A REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS E OS QUATÉRNIOS.

Os números complexos são uma entidade matemática que geraram problemas desde a antiguidade, pois Hero de Alexandria e Diofanto já haviam se deparado com a questão do significado da raiz quadrada de um número negativo.

Giordano Cardano (1501-1576) em 1554 publicou seu livro intitulado "Ars Magna", que fez com que fosse considerado o primeiro matemático a apresentar os números complexos em um cálculo, pois ao tentar resolver uma equação cúbica em particular ele descreveu sua solução:

"...A despeito de quaisquer torturas mentais, multiplicando 5 + sqr{-15} por 5 - sqr{-15}, obtemos 25 -(-15) e, portanto, o produto é 40..."

Mas, Cardano não compreendeu nem aceitou seu resultado, pois nesse mesmo parágrafo ele acrescentou:

"...e assim como esse resultado aparece, como eu havia dito, tal resultado é inútil..."

Rafael Bombelli (1526-1572) em uma de suas visitas a Roma entrou em contato com Antonnio Maria Pazzi que era professor na Universidade de Roma e juntos decidiram traduzir um manuscrito de Diofanto, o "Arithmetica", então em 1572, Bombelli escreveu um trabalho de cinco volumes intitulado "Álgebra", cujo conteúdo ele creditou integralmente a Diofanto, mas só os primeiros três livros foram publicados, devido a sua morte. Alguns manuscritos seus foram encontrados em 1929 na biblioteca de Bolonha e os últimos dois livros foram publicados mesmo estando incompletos. Dessa forma, Bombelli foi o primeiro matemático a descrever as regras modernas para a multiplicação e adição de números complexos. Além disso, ele também usou seu cálculo de números complexos para obter, a partir da formula de Cardano-Tartaglia, as soluções reais para qualquer equação cúbica, mesmo quando esta apresenta uma expressão envolvendo a raiz quadrada de números negativos.

Os números complexos não foram aceitos como entidades matemáticas legitimas pela maioria dos matemáticos até o século XIX, quando o esforço de pelo menos seis homens, trabalhando independentemente para legitimar esses números através de uma representação geométrica, fizeram com que fossem aceitos por toda a comunidade científica, mais ainda, foram as sucessivas tentativas de estender esta representação a três dimensões que levou Hamilton a descobrir os quatérnios. Estes seis homens são: Wessel, Gauss, Argand, Bueé, Mourey e Warren.

Sir Willian Rowan Hamilton (1805-1865) estava interessado na generalização da representação geométrica dos números complexos para três dimensões desde pelo menos 1835, mas foi somente em 1843 que ele descobriu os quatérnios. Isto se deve a ele acreditar que era necessário que este sistema de ternas fosse semelhante ao dos números complexos e suas operações deveriam possuir um conjunto de propriedades que fossem equivalentes ao que se conhece hoje como estrutura de corpo. Depois de muitas tentativas falhas, ele mudou ligeiramente seu ponto de vista focalizando a natureza geométrica do produto em duas dimensões, o que o levou a criar um sistema onde a multiplicação é não-comutativa.

SISTEMAS LINEARES E OS PRIMEIROS CONCEITOS DE ESPAÇOS VETORIAIS

A teoria axiomática dos espaços vetoriais é um desenvolvimento recente na matemática e teve uma de suas origens na resolução de sistemas lineares.

Giuseppe Peano (1858-1952) deu a primeira definição axiomática de espaço vetorial em 1888, mas, a teoria de espaços vetoriais não foi desenvolvida antes de 1920.

Até a metade do século XVIII nada de substancial ocorreu com a álgebra linear.

Um assunto relevante cujas questões levaram ao desenvolvimento da teoria de sistemas lineares que por sua vez levaram ao desenvolvimento da teoria de espaços vetoriais é o estudo das curvas algébricas.

Duas proposições referentes às curvas algébricas eram bem conhecidas, embora tenham sido provadas somente parcialmente até o começo do século XVIII:

(1) "Duas curvas algébricas distintas de ordens m e n respectivamente têm mn pontos em comum". Sabe-se que estes pontos podem ser múltiplos, complexos ou infinitos, mas, os matemáticos da época também conheciam exemplos em que estes pontos eram todos simples e reais.

(2) "Para determinar uma curva de ordem n são necessários e suficientes n(n + 3)/2 pontos". Esta segunda proposição leva a um paradoxo, pois quando n é maior que 2, n(n + 3)/2 = n², então parece que duas curvas algébricas podem ter mais pontos em comum do que é suficiente para determinar cada uma delas. Colin Mclaurin (1698-1746) em 1720 foi o primeiro a identificar este paradoxo e Cramer o reformulou em 1750.

O ano de 1750 foi a data de publicação de dois dos trabalhos mais importantes na história do conceito de espaços vetoriais.

Gabriel Cramer (1704-1752), escreveu o primeiro deles, intitulado "Introduction à l'analyse des courbes algébriques", onde ele preparou a estrutura para a teoria de determinantes e Leonhard Euler (1707-1783) escreveu o segundo intitulado "Sur une contradiction apparente dans la doctrine des lignes curbes", que tem relação com o paradoxo de Cramer e também está relacionado com as curvas algébricas. Neste trabalho, Euler identificou a natureza do problema.

Depois de uma análise cuidadosa da situação, ele explicou que em alguns casos, a proposição (2) pode não ser verdadeira, quando n equações não são suficientes para determinar n incógnitas. Ele deu exemplos do que hoje é conhecido como sistemas indeterminados de equações lineares, ou seja, deu exemplos de sistemas de equações de curvas algébricas que não possuem solução, pois uma ou mais equações são dependentes das outras.

Euler foi um dos primeiros a evidenciar a importância da dependência linear, embora seu objetivo fosse dar soluções de sistemas lineares através do processo de substituição e eliminação, que ele ilustrou com exemplos, o que é diferente da definição moderna de dependência linear. Apesar das idéias de Euler constituirem as bases para que abordar as noções de dependência e posto, porém, estas foram obscurecidas pelo trabalho de Cramer.

O conceito de dependência de equações num sistema linear foi rapidamente relacionado à anulação do determinante de um sistema, e foi a partir daí que se desenvolveu a idéia de "menor" (subdeterminante) e o fato de que o tamanho de um menor não nulo maximal determina o número máximo de soluções independentes. Henry J. S. Smith (1826-1883), em um artigo de 1861, foi o primeiro a tratar esta idéia e com seu enfoque teórico marcou uma sutil, mas decisiva mudança, pois ele não queria dar modos de solucionar sistemas de equações; ele queria estudar as bases teóricas do problema.

Ferdinand Georg Frobenius (1849 - 1917), em um trabalho de 1875 intitulado "Über das Pfaffsche Problem" deu uma definição de independência para equações e n-uplas sem o uso de determinantes que é usada até hoje. Frobenius também preparou a base para as noções de dualidade e invariância quando considerou n-uplas e equações como objetos similares, que podem ser vistos de dois ângulos diferentes. Dentro da teoria de determinantes, foi com Frobenius que o conceito de posto alcançou a maturidade (foi ele quem usou o nome posto pela primeira vez).

ÁLGEBRA LINEAR, TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES

Leonhard Euler (1707-1783) Publicou em 1770 um tratado intitulado "Problema Algebricum ob Affectiones Prorsus Singulares Memorabile" onde estudava quadrados de números que similares aos quadrados mágicos. Ele escreveu:

"Sejam A, B, C, D, E, F, G, H, I, que verificam as seguintes condições:

1. A² + B² + C² = 1

2. D² + E² + F² = 1

3. G² + H² + I² = 1

4. AB + DE + GH = 0

5. AC + DF + GI = 0

6. AB + DE + GH =0

7. A² + D² +G² = 1

8. B² + E² + H² = 1

9. C² + F² + I² = 1

10. AD + BE + CF = 0

11. AG + BH + CI = 0

12. DG + EH + FI = 0"

Ele então percebeu que estas 12 condições são equivalentes a seguinte transformação ortogonal:

X = Ax + By + Cz;

Y = Dx + Ey + Fz;

Z = Gx + Hy + Iz; o que é equivalente a afirmação:

X² + Y² + Z² = x² + y² + z²

Então ele mostrou que as seis primeiras relações implicam nas seis ultimas. Euler não se preocupou com a questão da independência destas equações, pois seu raciocínio era intuitivo, mas mostrou que n2 coeficientes têm n(n + 1)/2 condições e que essa transformação ortogonal depende de n(n - 1)/2 parâmetros. Assim sendo, Euler caracterizou as transformações ortogonais para n = 2 e 3, mas, a principal contribuição de Euler para o avanço deste conceito foi que ele não se limitou a n = 3. Seu raciocínio puramente algébrico permitiu que ele obtivesse soluções para n = 4 e 5 e generalizasse para todo valor de n. Isto não ocorria na geometria, pois resolver essas equações para n maior que três significa se aventurar por espaços de dimensão maior que três.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) entre 1773 e 1775, em seu "Recherche d'Arithmétique" enquanto estudava as propriedades dos números que são a soma de dois quadrados, foi levado a estudar o efeito de transformações lineares com coeficientes inteiros numa forma quadrática de duas variáveis. Ele estabeleceu o fato de que o discriminante da nova forma quadrática é o produto do antigo discriminante pelo quadrado de uma quantidade que era conhecida como o determinante da transformação linear.

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicou em 1798 "Disquisitiones Arithmeticae", estudou a mesma questão com duas e três variáveis. Ele apresentou uma notação similar a da matriz que caracteriza a transformação linear. Além disso, estabeleceu a fórmula e uma notação simbólica para a composição de duas transformações lineares e também para o produto, o que marca um passo fundamental em direção ao conceito de matriz.

Ferdinand Gotthold Max Eisenstein (1823-1852) em 1844 fez uma das mudanças mais importantes no tratamento de operações com matrizes, que foi usar uma letra para se referir a matrizes e para descrever suas relações algébricas. Além disso, ele assinalou a não-comutatividade do produto que era conhecida mas era tratada como um processo local, não como uma operação algébrica. O que permitiu essa mudança foi a conexão das matrizes com vários objetos e também descobertas recentes como os quatérnios que alargaram o campo da álgebra.

Arthur Cayley (1821-1895) em 1858 publicou um tratado famoso intitulado "Memoir on the Theory of Matrices", muitos autores atribuem a este trabalho de Cayley a definição de matriz, mas segundo Jean-Luc Dorier [2], neste trabalho Cayley detalhada e cuidadosamente reuniu todos os resultados descobertos nas duas décadas anteriores, fazendo assim o estudo das operações algébricas com matrizes alcançarem o primeiro estágio de amadurecimento.

Em 1846, Cayley publicou um outro tratado intitulado "Sur Quelques Résultats de Géometrié de Position" onde ele deu um passo decisivo na direção de generalizar os espaços de dimensão maior que três, pois neste trabalho ele mostrou que se podem obter resultados em geometria tridimensional trabalhando-se com espaços de dimensão maior que três. Esse resultado poderia ter sido obtido por Möbius, mas ele adotou uma postura comum à sua época e descartou essa possibilidade.

A TEORIA DE EXTENSÃO DE GRASSMANN

Hermann Günter Grassmann (1809-1877) publicou em 1844 a primeira versão de "Lineale Ausdehnungslehre", cuja tradução literal é "Teoria Linear de Extensão", anunciado por ele como a primeira parte de uma teoria mais geral que ele nunca completou.

Grassmann neste trabalho discutiu e obteve uma boa parte dos resultados elementares da teoria atual de espaços vetoriais e de álgebra linear, além de ter conseguido algo bem próximo de uma formalização axiomática, mas devido a sua forma obscura de apresentação, seus resultados não influenciaram seus contemporâneos e a maior parte de seus resultados foi redescoberto independentemente de seu trabalho.

AS PRIMEIRAS FORMALIZAÇÕES AXIOMATICAS

Giuseppe Peano (1858-1932) publicou em 1888 sua própria leitura do "Ausdehnungslehre", com o titulo de "Calcolo Geometrico" onde fez uma definição axiomática do que ele chamou de "sistema linear", que foi considerada a primeira definição axiomática de um espaço vetorial. Apesar de serem muito similares às propriedades fundamentais de Grassmann, os axiomas de Peano deram uma contribuição muito importante, pois Peano descreveu a estrutura usando as propriedades das operações e não as deduziu da definição de operações em coordenadas. Além disso, Peano percebeu que a abordagem axiomática melhorava a formulação das propriedades de espaços vetoriais, pois, eliminava a necessidade de convenções e redundâncias existentes nas propriedades fundamentais de Grassmann. Ele também melhorou a definição dos conceitos de zero e elemento oposto. Apesar de todas essas melhorias, nem sua definição nem sua abordagem foram imediatamente aceitas por seus contemporâneos.

Cesare Burali-Forti (1861-1931) em 1897 publicou um livro de geometria diferencial intitulado "Introduction à la Geométrie Differentielle Selon la Méthode" onde usou as idéias de Grassmann e apresentou a tentativa Peano de torná-las mais acessíveis. No entanto, Burali-Forti não comentou a definição axiomática apresentada no "Calcolo Geometrico". Em 1909 Burali-Forti publicou com outro matemático italiano, Roberto Marcolongo, um trabalho chamado "Omografie Vettorialli con Applicazioni Alle Derivate Respetto ad un Punto et Alla Fisica-Matematica", que começa com uma apresentação axiomática e tem algumas falhas não encontradas no trabalho de Peano. Mas, seu trabalho é importante, pois é o primeiro a colocar a definição axiomática já na introdução. Embora o trabalho deles tenha sido desconsiderado pelos matemáticos da época, ele ajudou a tornar conhecida a definição axiomática, especialmente na Itália e na França. Peano, Burali-Forti e Marcolongo foram menos precisos em alguns pontos do que Grassmann, especialmente nos conceitos de base e dimensão. Grassmann definiu o conceito de base como o número máximo de vetores independentes no espaço, o que é suficiente para provar que n vetores independentes em um espaço de dimensão n constituem um sistema de geradores e formam, portanto uma base. Eles não estudaram a questão da minimalidade de um sistema de geradores, o que é necessário para provar que o número de elementos em uma base é único.

Hermann Weyl (1885-1955) em 1918 publicou a primeira edição de seu livro intitulado "Raum-Zeit- Materie" onde também usou uma definição axiomática para definir o que ele chamou de "linear vector-manifolds". Ele fez referencias a Grassmann e definiu seu livro como "um trabalho que marcou época", mas não mencionou os trabalhos de seus antecessores italianos, que não eram conhecidos na Alemanha, talvez porque sua definição estivesse mais próxima das fórmulas fundamentais de Grassmann que da definição axiomática de Peano. Atento à questão da dimensão, Weyl escolheu adicionar um "axioma dimensional", válido para qualquer espaço de dimensão n: "...há n vetores independentes, mas, para qualquer conjunto de n+1 vetores, estes são dependentes uns dos outros. (...) Desta propriedade segue que n, o número da dimensão, é uma característica do "manifold" e não depende de uma base especial de vetores".

Weyl definiu o conceito de dimensão de uma forma muito parecida com Peano, exceto por sua preocupação com a invariância do numero de máximo de elementos linearmente independentes em um espaço de dimensão finita. Apesar do teorema de Weyl ser diferente do teorema da mudança de base, a prova da unicidade do número de elementos em uma base continuou sendo ambígua. Em 1862, Grassmann tinha feito uma revisão do teorema da dimensão que ele havia deduzido do teorema da mudança de base: "... Este importante teorema pode também ser derivado diretamente da teoria de eliminação... Mas, a prova apresentada aqui é não somente elementar, mas tem a vantagem de ser também essencial, a relação simples entre as magnitudes extensivas aparecem mais claramente". Isto mostra que Grassmann estava muito à frente de seu tempo em muitos aspectos.

A TEORIA DE CORPOS

De certo modo, pode-se dizer que a questão da dimensão foi discutida com maior exatidão na teoria de corpos, pois se sabe atualmente que a extensão de um corpo é um espaço vetorial sobre o corpo original e a ordem da extensão é a dimensão deste espaço. Dessa forma, assim como no trabalho de Grassmann, a idéia de gerador (ou geração) está essencialmente presente no inicio da teoria. Embora a unicidade do número de elementos na base da extensão de corpos fosse considerada óbvia, essa questão foi estudada e resolvida com grande habilidade por um matemático alemão chamado Richard Dedekind (1831-1916) que publicou em 1893 uma prova da invariância do número de elementos da base no contexto de extensões de corpos, no décimo primeiro suplemento da quarta edição do trabalho intitulado "Vorlesungen über Zahlentheorie" de Gustav Peter Lejeune-Dirichlet. Neste suplemento, um parágrafo constitui uma abordagem da estrutura linear que, além de estar bem próxima da moderna, é muito geral.

Logo no início de seu trabalho, Dedekind deu a definição e as propriedades do que ele chamou de irredutibilidade (o que é atualmente conhecido como independência linear). Então, ele definiu um espaço ("Schaar") Omega como o conjunto de todas as possíveis combinações lineares de um conjunto de n números irredutíveis sobre um corpo A. Ele chamou estes elementos de base de Omega e definiu as coordenadas de um elemento qualquer de Omega. Daí, ele apresentou três propriedades e provou que elas são as características de Omega.

(1) "Os números de Omega se reproduzem pela adição e subtração".

(2) "Todo produto de um número de Omega por um número de A é um número de Omega".

(3) "Há n números independentes em Omega, mas, qualquer conjunto de n+1 números é dependente".

Dedekind mostrou que se podem deduzir essas propriedades da definição e que somente (3) necessita de prova, que ele fez por indução, obtendo um resultado equivalente ao que Grassmann obteve com o teorema da mudança de base. Além disso, nesta prova, Dedekind não usou a teoria de equações lineares, embora utilizasse a representação com coordenadas. Ele também deduziu que todo sistema de n números irredutíveis de O constituem uma base de O. Dedekind ainda mostrou que um sistema de n números é constituído de irredutíveis se, e somente se, o determinante de suas coordenadas na base original não for zero (o equivalente da mudança de base). Ele não afirma que um sistema de ordem n deve possuir n geradores, mas com o trabalho de 1844 de Grassmann, esta questão pôde ser facilmente resolvida.

No final do parágrafo, Dedekind concentrou-se no caso das extensões de corpos, ou seja, quando o espaço tem produto interno. Neste contexto, ele provou os seguintes resultados:

(1) "Em uma extensão de um corpo com uma base de n elementos, qualquer numero é algébrico e seu grau é menor ou igual a n".

(2) "Tal extensão é dita de grau n com respeito ao corpo, portanto, quaisquer sistemas de n elementos independentes constituem uma base da extensão".

(3) "Se T é algébrico com respeito ao corpo A, e de grau n, A(T) é uma extensão de A de grau n e 1, T, T2, ... , Tn-1 constituem uma base de A(T)". A maneira como Dedekind apresentou seus resultados se aproxima muito da atual apresentação dos resultados elementares em espaços vetoriais de dimensão finita. Ele também examinou a questão da dimensão com grande cuidado e originalidade.

Ernst Steinitz (1871-1928) publicou em 1910 um trabalho intitulado "Algebraische Theorie der Körper" que além de representar um importante avanço na história da álgebra moderna, também serviu como referência durante pelo menos um quarto de século. Neste trabalho (que é considerado o seu maior), Steinitz definiu a dependência linear sobre um corpo R e definiu uma extensão finita de ordem n da maneira que se usa até hoje: "Seja R um subcorpo de L. Diz-se que L é finito com respeito a R e de ordem n (cuja notação será: [L:R] = n) se houver em L, n elementos linearmente independentes sobre R, enquanto qualquer conjunto de mais que n elementos de L são linearmente dependentes sobre R".

Esta definição é igual à formulada por Peano, Burali-Forti e Marcolongo para a dimensão de espaços lineares. No não há referências explicitas a Dedekind no trabalho de Steinitz ou Weyl, apesar de seus trabalhos conterem definições parecidas com as dele.

Depois de sua definição, Steinitz mostrou que dada uma extensão de ordem n, a independência linear de um conjunto de n elementos é equivalente ao fato de que a representação de um elemento qualquer dessa extensão como combinação linear desses elementos é única. Esta definição decorre diretamente da definição anterior e não traz nenhuma novidade quando comparada às definições dos autores italianos.

Para Steinitz uma base de L é um conjunto de elementos tais que qualquer elemento de L pode ser representado de maneira única como uma combinação linear deles. Steinitz queria provar que toda base de L possuí n elementos e que todo conjunto de n elementos linearmente independentes formam uma base de L. Para alcançar esta meta, ele precisava provar que a ordem de uma extensão não pode ser maior que o número de geradores, o que ele de fato provou usando sua definição de base em termos de sistema de coordenadas, fazendo sua prova no contexto de n-uplas e equações lineares.

Apesar de ser dedutível no trabalho de Dedekind, esta foi a primeira prova explícita, (desde a versão de 1862 do livro de Grassmann) de que um conjunto de n geradores não pode gerar um espaço de dimensão maior que n.

Embora as abordagens e as ferramentas de Steinitz e Grassmann fossem muito diferentes, Steinitz usou algo parecido com o teorema da mudança de base, embora fosse no contexto de extensões transcendentes onde se substitui dependência linear por dependência algébrica. De fato, após alguns resultados preparatórios, ele formulou três teoremas finais cujos resultados, quando relacionados com dependência algébrica são equivalentes ao teorema de mudança de base, ao teorema sobre completamento de um sistema independente em uma base, à invariância do número de elementos na base de um espaço linear e a propriedade da dimensão de um subespaço de um espaço linear de dimensão finita.

A maneira que Steinitz apresentou seus resultados é tão dedutiva que se pode dizer que eles estão próximos da definição moderna do conceito geral de dependência (seja ela algébrica ou linear) de onde se poderiam deduzir os conceitos de dimensão e base. Então, não há quase nada para se fazer para traduzir esses resultados ao contexto linear, mas, ele mesmo não mencionou nada a respeito.

Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996) em 1930 corrigindo um trabalho de Otto Schreier e Emanuel Sperner deu continuidade ao trabalho de Steinitz, mas, ele usou o teorema da mudança de base (usava-o com este nome) no contexto de dependência linear.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, ANALISE FUNCIONAL E ÁLGEBRA LINEAR.

Desde o século XVIII, o estudo de equações diferenciais levou os matemáticos a se depararem com questões de interesse relevante que serviram como um ponto de partida de onde pode ter-se originado a análise funcional por volta da virada deste mesmo século. Além disso, o estudo de equações diferenciais ou equações diferenciais parciais (lineares) teve uma influência importante na teorização do conceito de linearidade, pois o desenvolvimento desse estudo levou a questões de linearidade ainda mais sofisticadas. Neste contexto, se podem encontrar algumas ocorrências onde aparecem métodos ou conceitos não enunciados e de certa forma implícitos. Estes métodos ou conceitos permaneceram dessa forma por pelo menos mais um século, mas hoje são partes essenciais da álgebra linear.

Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) na metade do século XVIII estava interessado em equações diferenciais quando percebeu que a solução geral de uma equação diferencial linear e homogênea de ordem n podia ser interpretada como combinação linear de um conjunto de n soluções "fundamentais". Este resultado também foi obtido por Lagrange e Euler, mas nenhum deles fez uma prova rigorosa e também não consideraram a questão da independência das soluções "fundamentais".

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) no estudo de equações diferenciais se deparou com muitas das questões que hoje são estudadas em álgebra linear. Por volta de 1770, ele desenvolveu seu método de "variação de constantes" para encontrar uma solução particular para equações homogêneas. Em alguns de seus métodos ele utilizou o que hoje é conhecido como operador adjunto. Para resolver sistemas de equações diferenciais ele usou de maneira implícita, algumas ferramentas de dualidade e duas vezes, uma por volta de 1762 e outra por volta de 1776, para resolver sistemas de equações diferenciais simultâneas, Lagrange usou implicitamente a busca do que conhecemos hoje como autovalores de uma matriz, mas ele não provou seus métodos de forma rigorosa em nenhuma de suas soluções.

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) publicou em 1822 seu trabalho intitulado "Théorie Analytique de la Chaleur", onde resolvia equações diferenciais por séries de potências e para resolver sistemas de infinitas equações lineares com infinitas incógnitas usou métodos parecidos com os de Lagrange. Porém ele não conseguiu encontrar uma solução correta para os seus problemas, pois não compreendia a questão da convergência das séries de potências. Mesmo assim, seu trabalho continha um avanço importante para esse método que é o estudo do quadrado de finitos subsistemas de ordem n e o que acontece quando n tende para infinito. Ainda assim, ninguém se interessou pela solução de sistemas de infinitas equações lineares por mais de meio século.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857) na primeira metade do século XIX publicou um trabalho intitulado "Cours de l'Ecole Polytechnique", onde esclareceu e desenvolveu provas rigorosas para as noções apresentadas por Lagrange e d'Alembert.

Jules Henri Poincaré (1854-1912) publicou um dos primeiros textos apresentando resultados consistentes no estudo de sistemas de infinitas equações lineares em 1886, e neste texto, ele fez referencias a um texto de 1877 de George William Hill (1838-1914).

As idéias de Fourier e o trabalho de Poincaré levaram muitos matemáticos a estudar sistemas de infinitas equações lineares. Alguns matemáticos que se dedicaram a este assunto são: David Hilbert (1862-1943), Frédéric Riesz, Erhard Schmidt (1876-1959), Jacques Salomon Hadamard (1865-1963) e Maurice René Fréchet (1878-1973). Eles consideravam condições restritivas diferentes das de Fourier nas séries de potências e asseguravam assim a convergência dos infinitos determinantes. Pode-se então concluir que por volta de 1920, a generalização a dimensões infinitas das teorias de determinantes, matrizes e formas quadráticas e bilineares, serviram como estrutura para unificar a teoria de linearidade.

Por volta dessa mesma década, alguns matemáticos começaram a perceber que alguns de seus métodos se tornaram muito técnicos e também difíceis de manipular e por isso, seus resultados nem sempre eram exatos. Otto Toeplitz (1881-1940) em 1909 publicou um texto provando certos teoremas sem o uso de determinantes, mas obtendo um sistema triangular equivalente através do uso sofisticado da eliminação. Além disso, uma mudança gradual na maneira de resolver os problemas levou a uma generalização cada vez maior dos espaços vetoriais de funções o que finalmente levaria a axiomatização da análise funcional. Frédéric Riesz (1880-1956) publicou em 1916 um artigo que foi traduzido em 1918 para o alemão com o titulo de "Über Lineare Funktionalgleichungen", que foi um dos primeiros a apresentar uma definição geral de espaço de funções normado e de espaço de funções fechado, o que representa um importante avanço na direção da axiomatização da análise funcional. Segue a definição de Riesz:

"Chamamos o conjunto das funções contínuas de [a,b] em R de espaço funcional. Além disso, chamamos a Norma de f(x) o valor máximo de |f(x)|, e a denotamos por ||f(x)||. A magnitude de ||f|| é, portanto maior que zero, e será igual a zero se e só se f(x) é sempre zero. A seguintes relações valem: ||cf|| = |c| ||f|| , e ||f1 + f2|| = ||f1|| + ||f2||... Vamos agora a um problema similar para transformações lineares. A transformação T que associa a cada elemento f de nosso espaço funcional outro elemento T(f), será chamada linear, quando for distributiva e limitada. A transformação é chamada distributiva se verifica a seguinte propriedade para toda f: T[cf] = cT[f], e T[f1 + f2] = T[f1] + T[f2] E T é chamada de limitada se existe uma constante M tal que: ||T(f)|| = M"

Utilizando-se desse método, Riesz conseguiu estabelecer as bases do que hoje é conhecido como "Teoria de Riesz-Fredholm de operadores compactos". Embora ele tivesse centrado seu artigo no conceito de espaço de funções contínuas em um intervalo real compacto, grande parte de seus resultados pode ser generalizada a outros espaços de funções. Um outro avanço é que Riesz usou apenas definições axiomáticas na maior parte do artigo.

Eduard Helly (1884-1943) em 1921 trabalhou com uma seqüência de espaços vetoriais normados gerais e dando continuidade ao avanço da axiomatização da análise funcional. Stefan Banach em uma tese que foi publicada em 1922 e Hans Hahn (1879-1934) em dois artigos publicados em 1922 e 1927 respectivamente deram a contribuição final que culminou na axiomatização da análise funcional.

Stefan Banach (1892-1945) afirmou na introdução de sua tese, cujo título era "Sur les Opérations Dans les Ensembles Abstraits et Leut Applicationoux Equations Integrables": "Minha meta é estabelecer alguns teoremas que sejam válidos para vários espaços funcionais que especificarei, mas não provarei separadamente. O que farei é considerar conjuntos de elementos em geral e postular certas propriedades, para deduzir alguns teoremas e prová-los para cada espaço funcional especifico onde o postulado escolhido é verdadeiro".

Banach mostrou com essa afirmação que não só sabia que uma abordagem axiomática generalizaria seu trabalho, como também que sabia como deveria utilizá-la. Essa estrutura, que hoje chamamos de "espaço de Banach" (ou seja, um espaço vetorial normado e completo), foi definida independentemente por Banach e por Hahn. Apesar de sua definição de espaços vetoriais não estar completamente correta e também ser parecida com a definição de Burali-Forti, Banach não fez referências a qualquer outro matemático. O uso das definições axiomáticas em seu trabalho foi tornou-se compulsório pois grande parte dos espaços funcionais que ele estudava eram de dimensões infinitas. Banach publicou em 1932 "Théorie des Opérateurs Linéaires" que fez um grande sucesso, pois além de apresentar a estrutura axiomática geral e muitos resultados que são atualmente utilizados em análise funcional e álgebra linear para espaços vetoriais de dimensão infinita, este livro é considerado como um trabalho que abriu uma nova era nestas duas áreas da matemática.

Referências

[1] M. J. Crowe - A history of vector analysis, Doven, New York, 1993

[2] Jean-Luc Dorier - Genesis of vector space theory, Hist. Math, 22, vol. 3, 1995, (pág. 227-261)

[3] B. A. Rosenfeld - A history of non-Euclidean geometry, Springer-Verlay, Berlim, 1998 (pág. 171-180 e 382- 394).

[4] G. H. Moore - The axiomatization of linera algebra, Hist. Math, 22, vol. 3, 1995, (pág. 262-303).

[5] L. Novy - Origins of modern algebra, Noordhof, Leyden, 1973.

[6] B. L. Van der Wearden - A history of algebra, Springer - Verlay, Berlim, 1985