Professor, favor disponibilizar a apostila de Álgebra atualizada. Abraço!!!

Por que o axioma "para cada u em V, existe um objeto -u, chamado um negativo de u, tal que u+(-u)=(-u)+u=0" confere com o conjunto de todos os pares (x,y) de números reais com as operações

(x,y)+(x`,y`)=(x+x`+1,y+y`+1) e
k(x,y)=(kx,ky), se

u+(-u)=(x,y)+(-x,-y)=(x+[-x]+1,y+[-y]+1)=(0+1,0+1)=(1,1) que é diferente de (0,0) ?

Para que valor(es) de W o sistema de equações
(W-3)x + y = 0
x + (W-3)y = 0
tem soluções não-triviais ?

A solução trivial para um sistema linear homogêneo é, neste caso, [0 0]^t. Para que este sistema possua, além dela, outras soluções, você deve escalonar a matriz dos coeficientes e admitir que a segunda linha é nula.